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▶ 유체역학을 다루는 포스팅
6. 오일러와 베르누이 방정식
6.1) 오일러의 방정식 (Euler’s Equation)
오일러의 방정식은 유체의 압력, 속도, 그리고 위치 에너지 간의 관계를 설명합니다. 이 방정식은 비점성 유체에 대한 운동량 보존을 기술합니다.
6.1.1) 오일러 방정식의 가정
- 유체는 비점성이며, 비압축성입니다.
- 유체의 흐름은 정상유동입니다.
6.1.2) 오일러 방정식
\( \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla)v = -\frac{1}{\rho}\nabla p + g \)
- v: 유체의 속도 벡터
- ρ: 유체의 밀도
- p: 압력
- g: 중력가속도
6.2) 베르누이 방정식 (Bernoulli’s Equation)
베르누이 방정식은 비점성, 정상유동 조건에서 유체의 에너지 보존을 설명합니다.
6.2.1) 베르누이 방정식의 가정
- 유체는 비점성이며, 비압축성입니다.
- 유체의 흐름은 정상유동입니다.
- 흐름은 고도의 변화가 크지 않은 경우에 적용됩니다.
6.2.2) 베르누이 방정식
\( \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{constant} \)
- p: 압력
- ρ: 유체의 밀도
- v: 유체의 속도
- g: 중력가속도
- z: 유체 입자의 높이
6.3) 예제 문제 및 풀이
예제 1 (오일러 방정식)
문제: 압력이 100 kPa인 지점에서 유체의 속도가 5 m/s일 때, 압력이 80 kPa인 다른 지점에서의 유체 속도를 계산하시오. 유체는 비점성, 비압축성으로 가정합니다.
풀이: 오일러 방정식을 사용하여,
\( \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} \)
여기서 \( P_{1} \) =100kPa, \( P_{2} \) =80kPa, \( v_{1} \) =5m/s.
\( v_2 = \sqrt{2 \left( \frac{p_1 – p_2}{\rho} \right) + v_1^2} \)
이를 통해 \( v_{2} \)를 계산할 수 있습니다.
예제 2 (베르누이 방정식)
문제: 높이 10m에서 유체의 속도가 3 m/s이고 압력이 150 kPa일 때, 높이가 5m인 지점에서의 압력을 구하시오.
풀이: 베르누이 방정식을 적용하여,
\( \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g z_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g z_2 \)
여기서 \( z_{1} \)=10m, \( z_{2} \)=5m, \( v_{1} = v_{2} \) =3m/s, \( P_{1} \) =150kPa.
\( p_2 = \rho \left( \frac{p_1}{\rho} + g z_1 – g z_2 – \frac{v_2^2}{2} \right) \)
이를 통해 \( P_{2} \)를 계산할 수 있습니다.
다른 기계 가공법 링크
유체역학 (12) – 바리뇽의 정리 (Bernoulli’s Principle)
유체역학 (15) – 부양체의 안정 (Stability of Floating Bodies)