유체역학 (21) - 연속 방정식

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연속 방정식은 유체의 질량 보존을 나타내는 방정식으로, 유체의 어느 지점에서든 시간에 따라 유입되는 유체의 양과 유출되는 유체의 양이 같아야 한다는 원리에 기반합니다.

공식: \( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \) 여기서 ρ는 유체의 밀도, \( \vec{v} \)는 유체의 속도 벡터입니다.

문제: 직경이 각각 10cm와 5cm인 두 개의 관이 연결되어 있고, 10cm 관에서의 유속이 2m/s일 때, 5cm 관에서의 유속을 계산하시오.

풀이: 비압축성 유체에 대한 연속 방정식에 의해,

\( A_1 v_1 = A_2 v_2 \)

여기서 \( A_{1} = \pi \times (0.1/2)^{2} , A_{2} = \pi \times (0.05/2)^{2} , v_{1} = 2m/s \)

\( v_2 = \frac{A_1}{A_2} \times v_1 = \frac{(0.1/2)^2}{(0.05/2)^2} \times 2 = 8 \, \text{m/s} \)

따라서 5cm 관에서의 유속은 8 m/s입니다.

문제: 너비 3m, 깊이 2m인 강에서 물의 체적유량이 12 m3/sm3/s일 때, 평균 유속을 계산하시오.

풀이: 체적유량 Q=A×v. 여기서 면적 A=3×2 m².

\( v = \frac{Q}{A} = \frac{12}{3 \times 2} \)

\( v = 2 \, \text{m/s} \)

따라서 강의 평균 유속은 2 m/s입니다.

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