유체역학 (12) - 바리뇽의 정리 (Bernoulli's Principle)

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바리뇽의 정리는 유체의 흐름과 압력 간의 관계를 설명하는 유체역학의 기본 원리입니다. 이 원리는 에너지 보존의 관점에서 유체의 흐름을 설명하며, 비압축성 유체의 이상적인 흐름에 주로 적용됩니다.

필기에 의하면 “한 점에 대한 다수의 힘의 모멘트의 합은 이들 힘의 합력의 그 점의 모멘트와 동일하다.”

고체역학에서 모멘트를 계산할 때 사용하는 원리이다.

\( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \)

문제: 높이 5m에서 속도가 10m/s인 물의 압력을 계산하시오. 물의 밀도는 \( 1000kg_{m} / m^{3} \)로 가정합니다.

풀이: 바리뇽의 정리를 사용하여,

\( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \)

속도가 0이고, 높이가 0인 지점에서의 압력 \( P_{0} \)를 찾기 위해 식을 재정리합니다.

\( P = P_0 – \frac{1}{2} \rho v^2 – \rho gh \)

가정에 따라 \( P_{0} \)는 대기압 101325 Pa와 같습니다.

\( P = 101325 – \frac{1}{2} \times 1000 \times 10^2 – 1000 \times 9.81 \times 5 \)

\( P = 101325 – 50000 – 49050 \)

\( P = 2275 \, \text{Pa} \)

따라서 높이 5m에서 속도가 10m/s인 물의 압력은 2275 Pa입니다.

문제: 높이가 3m인 지점에서 속도가 5m/s인 유체의 압력이 50000 Pa일 때, 높이가 1m이고 속도가 15m/s인 지점의 압력을 계산하시오. 유체의 밀도는 \( 1000kg_{m} / m^{3} \)로 가정합니다.

풀이: 바리뇽의 정리를 사용하여 두 지점의 에너지를 동일하게 설정합니다.

\( P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \)

주어진 값으로 식을 재배열하면,

\( 50000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times 5^2 + 1000 \times 9.81 \times 3 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times 15^2 + 1000 \times 9.81 \times 1 \)

\( P_2 = 50000 + 12500 + 29430 – 112500 – 9810 \)

\( P_2 = -25280 \, \text{Pa} \)

따라서 높이가 1m이고 속도가 15m/s인 지점의 압력은 -25280 Pa입니다. (음의 압력은 물리적으로 불가능하므로, 이 예제는 이상적 조건에서의 계산 예시임을 알립니다.)

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