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2. 강제진동의 수학적 모델링
강제진동 분석에 있어 수학적 모델링은 시스템의 동적 반응을 이해하고 예측하는 데 필수적입니다. 이 섹션에서는 외부 힘의 영향을 받는 시스템의 수학적 모델을 설명하고 그 중요성을 탐구합니다.
2.1) 강제진동의 운동 방정식
강제진동은 다음과 같은 2차 선형 미분방정식으로 표현할 수 있습니다:
\( m(d²x/dt²) + c(dx/dt) + kx = F(t) \)
여기서:
- m은 시스템의 질량,
- c는 감쇠 계수,
- k는 시스템의 강성,
- x는 변위,
- \( F_{t} \) 는 시간에 따라 변하는 외부 힘입니다.
2.2) 미분 방정식의 해와 그 의미
미분 방정식의 해는 시스템의 동적 반응을 나타냅니다. 일반적으로, 해는 시스템의 자유 응답(외부 힘이 없을 때의 응답)과 강제 응답(외부 힘으로 인한 응답)의 합으로 구성됩니다.
2.3) 주파수 응답 분석
주파수 응답은 외부 힘의 주파수가 시스템의 응답에 미치는 영향을 분석하는 과정입니다. 공진 현상은 외부 힘의 주파수가 시스템의 자연 주파수와 일치할 때 발생하며, 이는 시스템 응답의 진폭을 크게 증가시킵니다.
예제 문제 및 솔루션
예제 1: 정상 상태 응답 진폭 계산
질량 m=1kg, 감쇠 계수 c=0.1Ns/m, 강성 k=20N/m, 외부 힘 F(t)=5cos(3t)N을 받는 시스템의 정상 상태 응답 진폭을 계산하세요.
솔루션: 정상 상태 응답 진폭 X는 다음과 같이 주어진 식을 통해 계산할 수 있습니다:
\( X = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m \omega ^{2})^{2} + ( c \omega )^{2}} } \)
주어진 값에 따라 계산하면, ω=3rad/s와 주어진 질량, 감쇠 계수, 강성을 대입하여 X 값을 구할 수 있습니다.
예제 2: 공진 주파수와 시스템 설계의 함의
감쇠가 없는 경우(c=0)에 대해, 질량 m=1kg 및 강성 k=20N/m을 가지는 시스템의 공진 주파수를 계산하고, 이 정보가 시스템 설계에 어떠한 함의를 가지는지 설명하세요.
솔루션: 공진 주파수 \( \omega_{0} \)는 시스템의 자연 주파수와 같으며, 다음 공식으로 계산할 수 있습니다:
\( \omega_{0} = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)
이 경우, \( \omega_{0} = \sqrt{ \frac{20}{1} } = \sqrt{20} ≈ 4.47 rad/s \)를 얻습니다. 이는 시스템이 외부 힘의 주파수가 4.47 라디안/초일 때 가장 큰 응답을 나타낸다는 것을 의미합니다. 시스템 설계 시 이 공진 주파수를 피하거나, 적절한 감쇠를 도입하여 공진에 의한 과도한 응답을 줄이는 조치가 필요함을 시사합니다.
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