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2. 비틀림 진동의 수학적 모델링
비틀림 진동의 수학적 모델링은 시스템의 동적 거동을 이해하고 예측하는 데 필수적입니다. 이 모델은 비틀림 진동의 운동 방정식을 포함하며, 이를 통해 자연 주파수, 감쇠 비율, 그리고 다양한 외부 조건에서의 시스템 응답을 분석할 수 있습니다.
2.1) 비틀림 진동의 운동 방정식
- 운동 방정식: \( I\frac{d^2\theta}{dt^2} + c\frac{d\theta}{dt} + k\theta = T(t) \)
- 여기서 I는 회전 관성 모멘트, c는 감쇠 계수, k는 비틀림 강성, θ는 비틀림 각도, 그리고 \( T_{t} \) 는 시간에 따라 변하는 외부 토크입니다.
2.2) 비틀림 진동의 해와 그 의미
- 해의 일반 형태: 비틀림 진동의 해는 특정 초기 조건과 경계 조건에 따라 다양한 형태를 가질 수 있습니다. 자유 비틀림 진동의 경우, 해는 다음과 같은 형태를 취할 수 있습니다:
- \( \theta(t) = \Theta e^{-\zeta\omega_n t}\cos(\omega_d t + \phi) \)
- 여기서 Θ는 초기 진폭, ζ는 감쇠 비, \( \omega_{n} \) 는 자연 진동수, \( \omega_{d} \) 는 감쇠된 진동수, 그리고 ϕ는 초기 위상 각입니다.
2.3) 비틀림 진동 시스템의 자연 주파수
- 자연 주파수 계산: \( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{I}} \)
- 이 공식은 비틀림 진동 시스템의 자연 주파수를 계산하는 데 사용됩니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1: 비틀림 진동 시스템의 자연 주파수 계산
문제: 회전 관성 모멘트가 0.02 kg·m²이고 비틀림 강성이 400 Nm/rad인 시스템의 자연 주파수를 계산하세요.
풀이:
\( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{I}} = \sqrt{\frac{400}{0.02}} = \sqrt{20000} = 141.42 \, \text{rad/s} \)
예제 2: 감쇠 비틀림 진동의 해 분석
문제: 회전 관성 모멘트가 0.05 kg·m², 비틀림 강성이 300 Nm/rad, 감쇠 계수가 0.5 Nms/rad인 시스템에 대해, 초기 조건 \( \theta(0) rad \), \( \frac{d \theta}{dt} (0) = 0 rad/s \) 에서의 진폭 감소를 분석하세요.
풀이:
- 감쇠 비와 감쇠된 진동수를 계산합니다:
- \( \zeta = \frac{c}{2\sqrt{kI}} = \frac{0.5}{2\sqrt{300 \times 0.05}} = \frac{0.5}{2\sqrt{15}} \approx 0.0645 \)
- \( \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = \sqrt{\frac{300}{0.05}}\sqrt{1-0.0645^2} \approx \sqrt{6000}\sqrt{0.9958} \approx 77.46 \, \text{rad/s} \)
- 초기 진폭 Θ=0.1Θ=0.1 rad에서, 진폭은 시간에 따라 \( e^{- \zeta \omega_{n} t} \)의 비율로 감소합니다. 초기 조건에서 진폭 감소율을 계산하기 위해 더 많은 시간 특정 데이터가 필요합니다.
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