동역학 (42) – 비틀림 진동의 기본 원리

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비틀림 진동은 구조물이나 기계 요소가 비틀림 모멘트의 영향으로 회전 운동을 할 때 발생하는 진동 유형입니다. 이 과정에서 생기는 회전 운동은 비틀림 축을 중심으로 발생하며, 다양한 공학 분야에서 중요한 현상으로 간주됩니다.

에너지 전달: 비틀림 진동은 기계적 에너지가 축이나 기어를 통해 전달되는 과정에서 발생합니다. 이 과정에서 에너지는 비틀림 모멘트의 형태로 저장되었다가 방출됩니다.

문제: 질량이 2kg이고, 회전 반경이 0.5m인 원판이 축에 고정되어 있습니다. 축의 비틀림 강성이 800Nm/rad일 때, 이 시스템의 자연 진동수를 계산하세요.

풀이: 비틀림 진동의 자연 진동수( \( f \) )는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:

\( f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{I}} \)

여기서 k는 비틀림 강성이고, I는 회전 관성 모멘트입니다. 원판의 회전 관성 모멘트는:

\( I = \frac{1}{2}mr^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 = 0.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)

따라서, 자연 진동수는:

\( f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{800}{0.25}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{3200} \approx \frac{1}{2\pi} \times 56.57 \approx 9 \, \text{Hz} \)

문제: 비틀림 강성이 500Nm/rad이고, 감쇠 계수가 5Nms/rad인 시스템에서 초기 비틀림 각도가 0.1rad일 때, 첫 번째 진동 사이클 동안의 에너지 손실을 계산하세요.

풀이: 비틀림 진동에서의 초기 에너지는 비틀림 강성과 초기 비틀림 각도를 사용하여 계산할 수 있습니다:

\( E_{\text{initial}} = \frac{1}{2}k\theta^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times (0.1)^2 = 2.5 \, \text{J} \)

에너지 손실은 감쇠 계수와 진동수를 고려하여 계산되나, 첫 번째 사이클 동안의 정확한 에너지 손실량을 계산하기 위해서는 복잡한 감쇠 진동 분석이 필요합니다. 이 예제는 감쇠 진동의 에너지 손실을 계산하는 방법에 대한 직관을 제공하는 것을 목표로 합니다.

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