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2. 감쇠 진동의 수학적 모델링
감쇠 진동은 물리적 시스템에서 일반적으로 발생하는 현상으로, 수학적 모델링을 통해 정확하게 분석할 수 있습니다. 이 섹션에서는 감쇠 진동의 운동 방정식과 그 해석을 중심으로 살펴봅니다.
2.1) 감쇠 진동의 운동 방정식
- 운동 방정식: \( m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 \)
- 여기서 m은 질량, c는 감쇠 계수, k는 탄성 상수, x는 변위입니다. 이 방정식은 감쇠가 있는 시스템의 운동을 나타냅니다.
2.2) 비감쇠, 과감쇠, 임계감쇠 조건의 해석
- \( 비감쇠 조건 ( c=0 ) \) : 완벽한 조화 운동을 나타냅니다.
- \( 과감쇠 조건 ( c > 2 \sqrt{km} ) \): 진동 없이 점차적으로 정지합니다.
- \( 임계감쇠 조건 (c = 2 \sqrt{km} ) \): 가장 빠르게 평형 상태로 복귀합니다.
2.3) 운동 방정식의 해와 그 의미
- 해의 일반 형태: 감쇠 진동의 경우, 운동 방정식의 해는 시간에 따라 감소하는 지수 함수를 포함하며, 이는 진동의 진폭이 시간이 지남에 따라 감소함을 나타냅니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1: 감쇠 계수에 따른 시스템 응답 분석
문제: 질량이 1kg, 탄성 상수가 36N/m인 시스템이 있습니다. 감쇠 계수가 6Ns/m일 때, 시스템의 운동 방정식 해와 해당 감쇠 조건(비감쇠, 과감쇠, 임계감쇠)를 분석하세요.
풀이:
- 감쇠 계수 분석: 임계감쇠 조건( \( c_{critical} \) )은 \( c_{critical} = 2 \sqrt{km} = 2 \sqrt{36 \times 1} = 12Ns/m \)
- 감쇠 조건 판단: 주어진 감쇠 계수 6Ns/m는 임계감쇠보다 작으므로, 이 시스템은 가벼운 감쇠 조건에 해당합니다.
예제 2: 과감쇠 시스템의 시간 상수 계산
문제: 질량이 2kg, 탄성 상수가 50N/m, 감쇠 계수가 20Ns/m인 시스템에 대해, 과감쇠 조건에서 시스템의 시간 상수(�τ)를 계산하세요.
풀이:
- 시간 상수 계산: 과감쇠 조건에서 시간 상수는 \( \tau = \frac{m}{c} \) 로 계산할 수 있습니다.
- \( \tau = \frac{2}{20} = 0.1 \, \text{sec} \)이는 시스템의 응답이 지수적으로 감소하여 0.1초 후에 초기 값의 \( e^{-1} \) (약 36.8%)로 감소함을 나타냅니다.
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