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6. 강제 조화 운동과 공명
강제 조화 운동은 외부 힘이 주기적으로 작용하여 시스템이 진동하는 경우를 말합니다. 이런 유형의 운동에서 공명은 매우 중요한 현상으로, 외부 힘의 주파수가 시스템의 자연 진동수와 일치할 때 진폭이 극대화되는 현상을 의미합니다.
6.1) 강제 조화 운동의 정의
- 정의: 외부 주기적 힘에 의해 유지되는 진동 운동.
- 수학적 모델: \( m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega t) \)
- 여기서 \( F_{0} \) 는 외부 힘의 진폭, ω는 외부 힘의 각진동수입니다.
6.2) 강제 조화 운동의 운동 방정식
- 운동 방정식의 해: 진동의 해는 주로 다음 형태로 표현됩니다: \( x(t) = X\cos(\omega t – \delta) \)
- 여기서 X는 진동의 진폭, δ는 위상차입니다.
6.3) 공명의 정의와 조건
- 공명: 외부 힘의 주파수가 시스템의 자연 주파수에 가까워지면 발생하는 현상으로, 진폭이 최대가 됩니다.
- 공명 조건: \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
예제 문제 및 풀이
예제 1: 강제 조화 운동의 진폭 계산
문제: 질량이 1kg, 감쇠 계수가 0.1Ns/m, 탄성 상수가 4N/m인 시스템에 2N의 진폭을 가진 외부 힘이 1rad/s의 각진동수로 작용할 때, 진동의 진폭을 계산하세요.
풀이: 외부 힘에 의한 진동의 진폭 X는 다음 공식으로 주어집니다:
\( X = \frac{F_0}{\sqrt{(k – m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}} \)
주어진 값으로 X를 계산하면:
\( X = \frac{2}{\sqrt{(4 – 1\cdot1^2)^2 + (0.1\cdot1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 0.01}} = \frac{2}{3.0005} \approx 0.666 \, \text{m} \)
예제 2: 공명 주파수 계산
문제: 질량이 0.5kg이고 탄성 상수가 200N/m인 시스템에서 공명 주파수를 계산하세요.
풀이: 공명 주파수는 시스템의 자연 진동수와 같으므로:
\( f_{\text{res}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{200}{0.5}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{400} = \frac{20}{2\pi} \approx 3.183 \, \text{Hz} \)
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