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4. 조화 운동의 주기와 진동수
조화 운동의 주기와 진동수는 운동의 특성을 정량적으로 설명하는 중요한 매개변수입니다. 주기는 한 완전한 진동 사이클을 완료하는 데 걸리는 시간을 의미하며, 진동수는 단위 시간당 진동 사이클의 수를 나타냅니다.
4.1) 주기와 진동수의 정의
- 주기(T): 한 완전한 진동이 발생하는 데 필요한 시간. 단위는 초(s)입니다.
- 진동수(f): 단위 시간당 진동의 횟수. 단위는 헤르츠(Hz)입니다.
4.2) 주기와 진동수의 계산 방법
- 계산 공식: \( T = \frac{1}{f} \), \( f = \frac{1}{T} \), 주기와 진동수는 서로 역수 관계에 있습니다.
- 조화 운동에서의 주기와 진동수: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \), \( f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \)
- 여기서 m은 질량, k는 탄성 상수입니다.
4.3) 물리적 조건이 주기와 진동수에 미치는 영향
- 질량과 탄성 상수는 주기와 진동수를 결정하는 주요 요소입니다. 질량이 증가하면 주기는 증가하고 진동수는 감소합니다. 반대로, 탄성 상수가 증가하면 주기는 감소하고 진동수는 증가합니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1: 진동수 계산
문제: 질량이 0.25kg이고 탄성 상수가 100N/m인 조화 운동의 진동수를 계산하세요.
풀이:
\( f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{100}{0.25}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{400} = \frac{20}{2\pi} \approx 3.183 \, \text{Hz} \)
예제 2: 주기 변화에 따른 질량의 영향 분석
문제: 탄성 상수가 200N/m인 조화 운동에서, 질량을 4배 증가시켰을 때 주기의 변화를 계산하세요.
풀이:
원래의 주기( \( T_{1} \) ):
\( T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{200}} \)
질량을 4배 증가시킨 후의 주기( \( T_{2} \) ):
\( T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{200}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{50}} \)
주기의 변화는:
\( \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{4} = 2 \)
즉, 질량을 4배 증가시키면 주기도 2배 증가합니다.
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