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2. 조화 운동의 운동 방정식
조화 운동(Simple Harmonic Motion, SHM)의 운동 방정식은 물체에 작용하는 복원력이 그 물체의 변위에 비례하고, 변위의 방향에 반대인 경우에 유도될 수 있습니다. 이 섹션에서는 SHM의 운동 방정식, 그 해, 그리고 에너지 관점에서의 해석을 살펴봅니다.
2.1) 단순 조화 운동(SHM)의 운동 방정식 유도
- 운동 방정식: \( m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \)
- 여기서 m은 질량, k는 탄성 상수, x는 평형 위치로부터의 변위입니다.
- 유도 과정: 뉴턴의 두 번째 법칙 (F=ma)을 사용하여 복원력 F=−kx를 대입하면, 위의 운동 방정식을 얻을 수 있습니다.
2.2) 운동 방정식의 해와 그 의미
- 해: \( x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)
- 여기서 A는 진폭, \( \omega = \sqrt{ \frac{m}{k} } \) 는 각진동수, ϕ는 위상 각입니다.
- 의미: 이 해는 물체가 시간에 따라 평형 위치에서 A의 최대 변위로 진동함을 나타냅니다.
- ω는 진동의 속도를 결정하며, ϕ는 진동이 시작되는 초기 위치를 나타냅니다.
2.3) 운동 방정식의 에너지 관점에서의 해석
- 에너지 보존: \( E_{\text{total}} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 \)
- 이 식은 SHM을 수행하는 물체의 총 에너지가 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 일정하게 유지됨을 나타냅니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1: SHM의 각진동수 계산
문제: 탄성 상수가 250N/m이고 질량이 2kg인 물체의 SHM 각진동수를 계산하세요.
풀이:
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{250}{2}} = \sqrt{125} = 11.18 \, \text{rad/s} \)
예제 2: SHM에서의 에너지 계산
문제: 질량이 0.5kg이고, 진폭이 0.3m인 SHM을 하는 물체의 최대 운동 에너지와 최대 위치 에너지를 계산하세요. 탄성 상수는 200N/m입니다.
풀이:
최대 운동 에너지(KEmax)는 최대 변위에서의 위치 에너지와 같습니다:
\( KE_{\text{max}} = PE_{\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.3)^2 = 9 \, \text{J} \)
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