▶ 동역학을 다루는 포스팅
3. 운동의 분석
운동의 분석은 물리학에서 특히 동역학에서 매우 중요한 부분입니다. 이는 물체의 위치, 속도, 가속도를 시간의 함수로 표현하고, 이러한 물리적 양들 간의 관계를 이해하는 과정을 포함합니다. 운동의 분석은 주로 두 가지 접근 방식, 즉 운동량과 에너지 보존의 원칙을 사용하여 이루어집니다.
3.1) 운동량 보존의 원칙
운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의됩니다. 폐쇄된 시스템 내에서 외부 힘이 작용하지 않는 한, 운동량의 총합은 보존됩니다. 이 원칙은 충돌과 폭발과 같은 다양한 상황에서 운동량의 변화를 분석하는 데 사용됩니다.
- 운동량 (P): P=mv
- 운동량 보존: \( P_{before} = P_{after} \)
3.2) 에너지 보존의 원칙
에너지 보존의 원칙에 따르면, 폐쇄된 시스템 내에서 에너지는 소멸되거나 창출될 수 없고, 오직 형태만 변할 수 있습니다. 이 원칙은 운동 에너지, 위치 에너지, 잠재 에너지 등 다양한 에너지 형태 간의 변환을 분석하는 데 사용됩니다.
- 운동 에너지 (KE): \( KE = \frac{1}{2}mv^{2} \)
- 위치 에너지 (PE): \( PE = mgh \)
- 에너지 보존: \( KE_{initial} + PE_{initial} = KE_{fianal} + PE_{fianal} \)
예제 문제 및 풀이
예제 1 (운동량 보존):
문제: 질량이 2kg인 물체와 질량이 3kg인 물체가 서로 반대 방향으로 각각 4m/s, 2m/s의 속도로 운동하고 있습니다. 이 두 물체가 충돌하고 완전히 정지했다면, 충돌 전 운동량의 총합은 얼마였습니까?
풀이:
두 물체의 운동량은 각각 \( P_{1} = m_{1}v_{1} \)과 \( P_{2} = m_{2}v_{2} \)로 계산됩니다.
\( P_{\text{total}} = m_1v_1 + m_2(-v_2) = 2 \times 4 + 3 \times (-2) = 8 – 6 = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \)
따라서, 충돌 전 운동량의 총합은 2kg⋅m/s입니다.
예제 2 (에너지 보존):
문제: 높이가 5m인 언덕에서 질량이 1kg인 공이 굴러 내려옵니다. 공이 바닥에 도달했을 때의 속도는 얼마입니까? (중력 가속도 \( g=9.8 m/s^{2} \) )
풀이:
공이 언덕 위에 있을 때의 위치 에너지와 바닥에 도달했을 때의 운동 에너지가 같다고 가정합니다.
\( PE_{\text{initial}} = KE_{\text{final}} \)
\( mgh = \frac{1}{2}mv^2 \)
v에 대해 풀면:
\( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{m/s} \)
따라서, 공의 속도는 약 9.9m/s입니다.
다른 동역학 링크