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▶ 동역학을 다루는 포스팅
개요
| 직선계 \( \sum F = ma \) | 회전계 \( \sum T_{m} = J \alpha \) | |||||
| 관성요소 | 질량\( [kg] \), \( m \) | 질량관성모멘트\( [kg \cdot m^{2} ] \), \( J \) | ||||
| 탄성요소 | 스프링상수\( [N/m] \), \( k=F/x \) | 비틀림스프링상수\( [\frac{M \cdot m}{rad}] = \frac{T}{ \theta }] \), \( k_{t} \) | ||||
| 변위요소 | 거리\( [m] \), \( x \) | 각도\( [rad] \), \( \theta \) | ||||
| 속도요소 | (선)속도\( [m/s] \), \( \frac{dx}{dt} = \dot{x} \) (선)가속도\( [m/s^{2}] \), \( \frac{dv}{dt} = \ddot{x} \) | 각속도\( [rad/s] \), \( \frac{d \theta }{dt} = \dot{ \theta } \) 각가속도\( [rad/s^{2}] \), \(\frac{d \omega }{dt} = \ddot{ \theta } \) | ||||
| 기진요소 | 힘\( [N] \), \( F(t) \) | 비틀림모멘트\( [x \cdot m] \), \( T_{m}(t) \) | ||||
| 직선계 \( \sum F = ma \) | 회전계 \( \sum T_{m} = J \alpha \) | |||||
| 관성요소 | 질량\( [kg] \), \( m \) | 질량관성모멘트\( [kg \cdot m^{2} ] \), \( J \) | ||||
| 탄성요소 | 스프링상수\( [N/m] \), \( k=F/x \) | 비틀림스프링상수\( [\frac{M \cdot m}{rad}] = \frac{T}{ \theta }] \), \( k_{t} \) | ||||
| 변위요소 | 거리\( [m] \), \( x \) | 각도\( [rad] \), \( \theta \) | ||||
| 속도요소 | (선)속도\( [m/s] \), \( \frac{dx}{dt} = \dot{x} \) (선)가속도\( [m/s^{2}] \), \( \frac{dv}{dt} = \ddot{x} \) | 각속도\( [rad/s] \), \( \frac{d \theta }{dt} = \dot{ \theta } \) 각가속도\( [rad/s^{2}] \), \(\frac{d \omega }{dt} = \ddot{ \theta } \) | ||||
| 기진요소 | 힘\( [N] \), \( F(t) \) | 비틀림모멘트\( [x \cdot m] \), \( T_{m}(t) \) | ||||
| 회전요소 | 감쇠계수\( [\frac{N \cdot s}{m}] \), \( c \) \( c =힘/속도 \) | 비틀림감쇠계수\( [\frac{Nm \cdot s}{rad}] \) \( c_{t} = \frac{비틀림모멘트}{각속도}, [J \cdot s / rad] \) | ||||
2. 조화 운동의 수학적 모델링
조화 운동(Simple Harmonic Motion, SHM)은 물리학에서 기본적인 진동 운동의 한 형태로, 이 운동은 시간에 따라 변하는 양의 변화를 예측할 수 있는 수학적 모델을 통해 정의됩니다.
2.1) SHM의 운동 방정식
- SHM 운동 방정식: 가장 기본적인 형태는 뉴턴의 두 번째 법칙을 사용하여 유도됩니다.
- 수식: \( F = -kx = m\frac{d^2x}{dt^2} \)
- 여기서 F는 복원력, k는 탄성 상수, x는 평형 위치로부터의 변위, m은 질량입니다.
2.2) SHM에서의 에너지 보존
- SHM에서 운동 에너지와 위치 에너지는 시간에 따라 변하지만, 그 총합은 일정하게 유지됩니다.
- 운동 에너지와 위치 에너지의 관계: \( E_{\text{total}} = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 \)
- \( E_{total} \) 은 시스템의 총 에너지를 나타냅니다.
2.3) 각진동수와 주기의 계산
- SHM의 각진동수(ω)와 주기(T)는 다음 공식을 통해 계산됩니다.
- 각진동수: \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
- 주기: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)
예제 문제 및 풀이
예제 1: 조화 운동의 주기와 각진동수 계산
문제: 질량이 0.2kg이고 탄성 상수가 50N/m인 물체가 수행하는 조화 운동의 주기와 각진동수를 계산하세요.
풀이:
각진동수(ω)를 계산합니다:
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.2}} = \sqrt{250} = 15.81 \, \text{rad/s} \)
주기(T)를 계산합니다:
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.2}{50}} = 2\pi\sqrt{0.004} = 0.4\pi \approx 1.26 \, \text{sec} \)
예제 2: 에너지 보존을 통한 최대 변위 계산
문제: 질량이 0.5kg인 물체가 SHM을 하고 있습니다. 최대 속도가 2m/s일 때, 최대 변위를 계산하세요. 탄성 상수는 200N/m입니다.
풀이:
최대 속도에서의 운동 에너지:
\( KE_{\text{max}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (2)^2 = 1 \, \text{J} \)
최대 변위에서의 위치 에너지가 운동 에너지와 같으므로:
\( PE_{\text{max}} = \frac{1}{2}kx^2 = KE_{\text{max}} \)
최대 변위(x)를 계산합니다:
\( x = \sqrt{\frac{2KE_{\text{max}}}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 1}{200}} = \sqrt{0.01} = 0.1 \, \text{m} \)
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