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▶ 동역학을 다루는 포스팅
개요
탄성에너지 \( \cup = \frac{1}{2} P \delta \)
\( k = P/x \) → \( P = kx \)
\( \cup = \frac{1}{2} kx^{2} \)
\( I_{P} = \int r^{2} dA \)
1. 진동의 기본 원리
진동은 시간에 따라 반복되는 운동으로, 다양한 자연 현상과 기술적 응용에서 발견됩니다. 이 섹션에서는 진동의 기본 원리, 간단한 조화 운동(SHM)의 개념, 그리고 진동의 기본 요소에 대해 탐구합니다.
직선계: \( m \ddot{x} + c \dot{x} + kx = F(t) \)
회전계: \( J \ddot{ \theta } + c_{t} \dot{ \theta } + k_{t} \theta = T(t) \)
1.1) 진동의 정의와 분류
- 정의: 진동은 물체가 평형 위치를 중심으로 왕복 운동을 반복하는 현상입니다.
- 분류: 자유 진동, 강제 진동, 감쇠 진동 등으로 분류할 수 있습니다.
1.2) 간단한 조화 운동(SHM)의 개념
- SHM 정의: 복원력이 변위에 비례하고, 변위의 방향과 반대 방향으로 작용할 때 발생하는 진동 운동입니다.
- 수식: \( F = -kx \) 여기서 F는 복원력, k는 탄성 상수, x는 평형 위치로부터의 변위입니다.
1.3) 진동의 기본 요소
- 매스(m): 진동하는 물체의 질량.
- 탄성력: 물체를 평형 위치로 되돌리려는 힘.
- 감쇠력: 진동을 감소시키는 힘, 일반적으로 마찰이나 저항에 의해 발생합니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1: 간단한 조화 운동의 주기 계산
문제: 질량이 0.5kg이고, 탄성 상수가 200N/m인 봄에 연결된 물체가 수행하는 SHM의 주기를 계산하세요.
풀이:
SHM의 주기(T)는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)
여기서 m은 질량, k는 탄성 상수입니다.
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{200}} = 2\pi\sqrt{0.0025} \approx 2\pi\sqrt{0.0025} \approx 0.314 \, \text{sec} \)
예제 2: 감쇠 진동의 감쇠 계수 결정
문제: 감쇠 계수가 5Ns/m인 시스템에서 질량이 2kg인 물체가 자유 진동을 합니다. 첫 번째 진동주기 동안의 최대 변위가 처음의 1/2로 감소했다면, 시스템의 감쇠비를 계산하세요.
풀이:
감쇠비(ζ)는 감쇠 계수(c)와 질량(m), 탄성 상수(k)를 이용하여 계산할 수 있습니다.
그러나, 감쇠비와 감쇠 계수 사이에 직접적인 계산 공식은 없으며, 문제에서 제공된 정보만으로는 감쇠비를 직접 계산할 수 없습니다.
대신, 감쇠 진동의 특성을 설명하고, 주어진 감쇠 계수를 바탕으로 시스템의 동적 행동을 논의할 수 있습니다.
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