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개요
질량관성모멘트
- 원: \( I_{G} = \frac{mR^{2}}{2} \)
- 원형 바: \( I_{G,1} = \frac{ml^{2}}{12} , I_{G,0} = \frac{ml^{2}}{3} \)
cf) 평행축 정리 \( J’ = J_{G} + a^{2}m \)
\( I’ : 중심이 아닌 부분의 질량관성모멘트 \)
\( I_{G} : 중심에서의 질량관성모멘트 \)
\( a : (질량) 중심 간 떨어진 거리 \)
4. 에너지 손실과 비보존력
에너지 손실과 비보존력은 에너지가 다른 형태로 변환되는 과정에서 일부 에너지가 유용한 작업을 수행하는 데 사용될 수 없게 되는 현상을 설명합니다. 이는 주로 마찰, 공기 저항, 열전달 등의 형태로 나타납니다. 비보존력은 시스템 내에서 에너지가 보존되지 않는 힘을 의미합니다.
4.1) 비보존력의 정의와 예
- 비보존력: 시스템의 에너지를 보존하지 않고 외부로 에너지를 분산시키는 힘. 예를 들어, 마찰력과 공기 저항이 있습니다.
4.2) 에너지 손실의 원인과 영향
- 에너지 손실 원인: 마찰, 공기 저항, 열 방출 등으로 인해 에너지가 열이나 다른 형태로 변환되어 시스템 외부로 손실됩니다.
- 영향: 기계적 효율 감소, 열관리 필요성 증가 등
4.3) 비보존력이 시스템에 미치는 영향
- 시스템의 전체적인 에너지 효율 감소
- 동역학적 시스템의 예측 가능성 및 제어 어려움 증가
예제 문제 및 풀이
예제 1: 마찰력에 의한 에너지 손실 계산
문제: 질량이 2kg이고 속도가 10m/s인 블록이 수평면 위를 움직일 때, 마찰계수가 0.05인 경우, 블록이 멈추기까지의 거리는 얼마인가?
풀이:
블록이 멈추기까지의 운동 에너지 손실은 마찰력에 의한 일과 같습니다.
\( W = F_{\text{friction}} \cdot d = \mu mgd \)
여기서 W는 일, \( F_{friction} \)는 마찰력, μ는 마찰계수, m은 질량, g는 중력가속도, d는 거리입니다.
블록의 초기 운동 에너지:
\( KE_{\text{initial}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 = 100 \, \text{J} \)
일과 에너지의 관계에서 거리 d를 구합니다:
\( d = \frac{KE_{\text{initial}}}{\mu mg} = \frac{100}{0.05 \times 2 \times 9.8} \approx 102.04 \, \text{m} \)
예제 2: 공기 저항에 의한 에너지 손실
문제: 속도가 20m/s이고 질량이 0.5kg인 공이 공기 중을 날아갈 때, 공기 저항 계수가 0.1이라고 할 때, 10초 후 공의 속도는 얼마인가? (공기 저항은 속도에 비례한다고 가정)
풀이:
공기 저항력은 다음과 같이 주어집니다:
\( F_{\text{air}} = -cv \)
여기서 c는 공기 저항 계수, v는 속도입니다.
공기 저항에 의한 에너지 손실:
\( W = F_{\text{air}} \cdot d = -cv \cdot vt \)
속도에 대한 식을 시간에 대해 풀면: \( v(t) = v_{0}e^{- \frac{c}{m} t } \)
주어진 값으로 \( v(t) \) 를 계산하면: \( v{10} = 20 e^{- \frac{0.1}{0.5} \times 10 } = 20 e^{-2} ) ≈ ( 2.7 m/s \)
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