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반경방향 운동과 횡방향운동이 동시에 움직일 때
(거리) \( \vec{s} = r \cdot u_{r} + \theta \cdot u_{ \theta } \)
(속도) \( \vec{v} = \dot{r} \cdot u_{r} + r \cdot \dot{ \theta } \cdot u_{ \theta } \)
(가속도) \( \vec{a} = ( \ddot{r} – \dot{ \theta }^{2} \cdot r ) \cdot u_{r} + ( \ddot{ \theta }r + 2 \dot{ \theta } \dot{r} ) \cdot u_{ \theta } \)
- \( u_{r} = 반경 방향의 단위 벡터 \)
- \( u_{ \theta } = 횡 방향의 단위 벡터 \)
2. 구속력의 분석
구속력은 구속된 운동에서 물체가 특정 궤도나 경로를 따라 움직이도록 강제하는 힘입니다. 이 섹션에서는 구속력의 계산 방법, 작용하는 시스템 예시, 그리고 구속력의 동역학적 특성에 대해 살펴봅니다.
2.1) 구속력의 계산 방법
구속력은 물체에 작용하는 외력과 구속조건을 만족시키는 내부 힘의 차이로 계산됩니다. 라그랑주 방정식은 이러한 힘의 분석에 유용하게 사용될 수 있습니다.
- 라그랑주 방정식: \( \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i \)
- 여기서 L은 라그랑지안(운동 에너지 – 위치 에너지), \( q_{i} \)는 일반화된 좌표, \( q’_{i} \)는 일반화된 속도, \( Q_{i} \)는 일반화된 힘(구속력 포함)입니다.
2.2) 구속력이 작용하는 시스템의 예
- 슬라이딩 블록, 회전하는 디스크, 스프링 메커니즘 등이 구속력의 영향을 받는 시스템의 예입니다.
2.3) 비홀로노믹 구속과 홀로노믹 구속
- 홀로노믹 구속: 시간에 대한 명시적인 함수가 아닌, 시스템의 구성 변수들만을 포함하는 제약 조건입니다.
- 비홀로노믹 구속: 시스템의 구성 변수들과 그들의 속도, 가끔은 시간에 대한 명시적인 함수를 포함하는 제약 조건입니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1
문제: 길이가 1m인 단순 펜듈럼이 있습니다. 펜듈럼의 끝에 부착된 물체의 질량이 0.5kg이고, 펜듈럼이 최대 45도 각도로 흔들릴 때, 구속력의 크기를 계산하세요.
풀이:
펜듈럼의 구속력은 주로 중력에 의해 발생하는 구성 요소입니다. 최대 각도에서, 구속력은 펜듈럼의 끈에 가장 큽니다.
구속력은 중력의 성분과 같으며, 최대 각도에서 펜듈럼에 작용하는 구속력을 F라고 합시다.
\( F = mg\cos(\theta) \)
여기서 \( g = 9.8 m/s^{2} \) , θ=45∘, m=0.5kg.
\( F = 0.5 \times 9.8 \times \cos(45^\circ) = 3.464 \,N \)
예제 2
문제: 반지름이 0.5m인 원형 궤도 위를 2kg의 물체가 4m/s 속도로 원운동하고 있습니다. 이 물체에 작용하는 구속력을 계산하세요.
풀이:
원운동에서 구속력은 구심력으로, 물체를 원형 궤도에 유지합니다.
\( F_c = \frac{mv^2}{r} \)
여기서 m=2kg, v=4m/s, r=0.5m.
\( F_c = \frac{2 \times 4^2}{0.5} = \frac{32}{0.5} = 64 \,N \)
따라서, 구속력의 크기는 64N입니다.
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