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개요
도르래 – \( \sum \vec{F} = 0, or, m \vec{a} , E_1 = E_2 \)
1. 구속된 운동의 기본 원리
구속된 운동은 물체의 운동이 하나 이상의 제약 조건에 의해 제한되는 경우를 말합니다. 이러한 구속은 물체의 가능한 운동 경로를 제한하며, 특정 규칙을 따라야 하는 운동입니다.
1.1) 구속된 운동이란?
- 정의: 물체의 운동이 공간적, 기계적 또는 기타 제약 조건에 의해 제한되는 경우
- 예시: 슬라이더가 고정된 가이드 레일을 따라 움직이는 경우, 펜듈럼의 운동
1.2) 구속조건의 종류와 예시
- 홀로노믹 구속: 위치 변수에만 의존하는 제약 조건
- 비홀로노믹 구속: 속도나 가속도를 포함한 제약 조건
- 예시: 홀로노믹 구속 – 펜듈럼의 길이 고정, 비홀로노믹 구속 – 물체의 속도에 제한을 두는 경우
1.3) 구속력과 그 특성
- 구속력: 구속조건을 만족시키기 위해 물체에 작용하는 힘
- 특성: 구속력은 물체의 운동에 필요한 최소한의 힘을 제공하며, 구속조건을 유지하는 데 필요합니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1
문제: 반지름 2m인 원형 궤도 위를 움직이는 물체에 대한 구속조건을 설명하고, 이를 만족하는 구속력의 크기를 계산하세요.
풀이:
구속조건은 물체가 반지름 2m의 원형 경로를 따라 움직여야 한다는 것입니다. 구속력은 이 원운동을 가능하게 하는 중심을 향하는 힘, 즉 구심력입니다.
구심력의 크기는 다음과 같이 계산됩니다:
\( F_c = m \cdot \frac{v^2}{r} \)
물체의 질량을 m=1kg이고, 속도를 v=3m/s라 가정할 때,
\( F_c = 1 \cdot \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\,N \)
따라서, 구속력의 크기는 4.5N입니다.
예제 2
문제: 길이가 1m인 단순 펜듈럼이 진동합니다. 펜듈럼의 최대 각도가 30도일 때, 최대 각도에서 펜듈럼에 작용하는 구속력을 계산하세요.
풀이:
펜듈럼의 최대 각도에서, 구속력은 중력의 구성 요소와 펜듈럼의 길이에 의해 결정됩니다. 구속력은 펜듈럼을 원형 경로에 유지하는 데 필요한 힘입니다.
최대 각도에서의 구속력은 중력의 수직 분력과 같습니다:
\( F_c = mg\cos(\theta) \)
여기서 \( g = 9.8 m/s^{2} , \theta = 30 ˚ \) 입니다.
\( F_c = 1 \cdot 9.8 \cdot \cos(30^\circ) = 9.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.49\,N \)
따라서, 최대 각도에서 펜듈럼에 작용하는 구속력은 약 8.49N입니다.
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