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▶ 동역학을 다루는 포스팅
개요
- 중심의 선속도 = 끝단의 원주속도
- 중심의 가속도 \( a = \) 접선 가속도 \( a_{t} = \alpha \cdot r \)
4. 원운동의 실제 예제
원운동의 원리는 천체 운동에서부터 일상생활의 다양한 현상까지 광범위하게 적용됩니다. 이 섹션에서는 원운동과 관련된 실제 예제를 통해 이 원리들이 어떻게 적용되는지 살펴봅니다.
4.1) 천체의 원운동과 케플러 법칙
케플러의 법칙은 행성이 태양 주위를 원형이 아닌 타원 궤도로 돌며, 근일점에서 더 빠르게 움직인다는 것을 설명합니다. 행성의 원운동을 단순화한 모델을 통해 구심력과 중력 사이의 관계를 살펴볼 수 있습니다.
- 수식 (행성의 원운동을 위한 중력 구심력): \( F_c = \frac{G M m}{r^2} \)
- 여기서 G는 중력 상수, M은 태양의 질량, m은 행성의 질량, r은 행성과 태양 사이의 거리입니다.
4.2) 차량의 원운동: 곡선 도로에서의 안전 속도
차량이 곡선 도로를 따라 원운동할 때, 차량이 도로를 벗어나지 않게 하는 최대 속도를 계산할 수 있습니다. 이 속도는 도로의 경사, 마찰 계수, 그리고 곡선의 반지름에 따라 달라집니다.
- 수식 (차량의 안전 속도): \( v_{\text{max}} = \sqrt{\mu g r} \)
- 여기서 μ는 도로와 타이어 사이의 마찰 계수, g는 중력 가속도, r은 곡선의 반지름입니다.
예제 문제 및 풀이
예제 1 (천체 원운동)
문제: 지구의 질량을 \( 5.97 \times 10^{24} kg \)kg , 지구와 달 사이의 평균 거리를 \( 3.84 \times 10^{8} \)m 라고 할 때, 달을 지구 주위를 원형 궤도로 도는 데 필요한 중력 구심력은 얼마입니까?
풀이:
중력 구심력을 계산합니다.
\( F_c = \frac{G M m}{r^2} \)
달의 질량을 \( 7.35 \times 10^{22}kg \) , 중력 상수를 \( 6.674 \times 10^{-11} Nm^{2}/kg^{2} \) 로 사용합니다.
\( F_c = \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 1.98 \times 10^{20} \, \text{N} \)
예제 2 (차량의 원운동)
문제: 반지름이 50m인 곡선 도로를 마찰 계수가 0.3인 차량이 운전하고 있습니다. 이 차량이 곡선을 벗어나지 않고 도로를 따라 운전할 수 있는 최대 속도는 얼마입니까?
풀이:
차량의 안전 속도를 계산합니다.
\( v_{\text{max}} = \sqrt{\mu g r} = \sqrt{0.3 \times 9.8 \times 50} \approx \sqrt{147} \approx 12.12 \, \text{m/s} \)
따라서, 차량이 곡선을 벗어나지 않고 운전할 수 있는 최대 속도는 약 12.12m/s입니다.
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