고체역학 (10) - 보의 처짐 - 품의격 Digandnity

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Section 08) 보의 처짐

1. 보의 처짐 개요

1) 개념 정의 및 기본 원리

처짐(Deflection): 구조공학에서, 보(beam)는 수직 하중에 의해 그 축을 따라 굴곡되며, 이 때 발생하는 변위를 처짐이라 합니다.
중요성: 보의 처짐은 구조적 안정성과 직접적으로 관련되어 있으며, 과도한 처짐은 구조물의 사용성과 안전성을 저하시킬 수 있습니다.

2) 주요 고려사항

재료의 탄성계수 (Elastic Modulus, E): 재료의 강도와 탄성을 나타내며, 처짐 계산에 중요한 요소입니다.
관성모멘트 (Moment of Inertia, I): 보의 단면의 모양과 크기에 따라 다르며, 처짐에 큰 영향을 미칩니다.
하중의 종류: 집중하중(Point Load), 균일분포하중(Uniformly Distributed Load), 등이 다른 형태의 처짐을 유발합니다.
경계 조건: 보의 양 끝이 고정되어 있는지, 자유롭게 움직일 수 있는지에 따라 처짐 양상이 달라집니다.

3) 처짐의 계산

기본적인 처짐 계산은 다음 공식을 사용합니다: \( \delta = \frac{FL^{3}}{3EI} \) 여기서,

δ는 최대 처짐량,
F는 하중,
L은 보의 길이,
E는 탄성계수,
I는 관성모멘트입니다.

4) 예제 문제

예제 문제 1:
- 문제: 길이가 6m인 단순지지 보에 중앙에 10kN의 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하시오. 탄성계수 E=200GPa, 관성모멘트 I=400×10^-6m⁴
- 풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{FL^3}{48EI} = \frac{10 \times 10^3 \times 6^3}{48 \times 200 \times 10^9 \times 400 \times 10^{-6}} = 0.01125 \, \text{m} = 11.25 \, \text{mm} \)

예제 문제 2:
- 문제: 길이가 8m인 양 끝이 고정된 보에 균일 분포하중 5kN/m이 작용할 때의 최대 처짐을 구하시오. 탄성계수 E=210GPa, 관성모멘트 I=300×10^-6m⁴
- 풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{5wL^4}{384EI} = \frac{5 \times 5 \times 10^3 \times 8^4}{384 \times 210 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}} = 0.00635 \, \text{m} = 6.35 \, \text{mm} \)

2. 처짐의 계산 방법

1) 계산 방법 개요

처짐 계산은 보의 하중 유형, 지지 조건, 재료 특성을 고려해 수행합니다. 기본적인 계산 방법은 다음과 같습니다:

하중 유형: 집중하중, 균일 분포하중, 불균일 분포하중 등이 있습니다.
지지 조건: 단순지지, 양 끝 고정, 한쪽 끝 고정 등 다양한 지지 조건이 처짐 계산에 영향을 미칩니다.
재료 특성: 탄성계수(E)와 관성모멘트(I)는 재료의 처짐에 중요한 영향을 미칩니다.

2) 기본 처짐 공식

단순지지 보의 중앙에 집중하중이 작용할 때의 처짐 공식: \( \delta = \frac{FL^{3}}{48EI} \)

양 끝이 고정된 보에 균일하게 분포된 하중이 작용할 때의 처짐 공식: \( \delta = \frac{5wL^{4}}{384EI} \)

여기서 F는 집중하중, w는 단위 길이당 하중, L은 보의 길이, E는 탄성계수, I는 관성모멘트입니다.

3) 예제 문제

예제 문제 1:
- 문제: 길이가 5m인 단순지지 보의 중앙에 12kN의 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하시오. 탄성계수 E=70GPa, 관성모멘트 I=800×10^-6m⁴
- 풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{FL^3}{48EI} = \frac{12 \times 10^3 \times 5^3}{48 \times 70 \times 10^9 \times 800 \times 10^{-6}} = 0.00893 \, \text{m} = 8.93 \, \text{mm} \)

예제 문제 2:
- 문제: 길이가 4m인 양 끝이 고정된 보에 단위 길이당 3kN/m의 균일 분포하중이 작용할 때의 최대 처짐을 구하시오. 탄성계수 E=200GPa, 관성모멘트 I=500×10^-6m⁴
- 풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{5wL^4}{384EI} = \frac{5 \times 3 \times 10^3 \times 4^4}{384 \times 200 \times 10^9 \times 500 \times 10^{-6}} = 0.00256 \, \text{m} = 2.56 \, \text{mm} \)

3. 처짐 곡선과 모멘트-곡률 관계

1) 처짐 곡선 (Deflection Curve)

처짐 곡선은 하중이 가해진 보의 변형을 나타내는 곡선입니다. 이 곡선은 보의 길이에 따른 변위를 표시하며, 하중의 크기와 분포, 보의 지지 조건에 따라 달라집니다.

곡선의 방정식: 처짐 곡선의 방정식은 보의 하중, 경계 조건, 재료 특성에 따라 결정됩니다.
곡선의 형태: 단순지지 보, 고정-고정 보, 고정-자유 보 등 다양한 지지 조건에서 다른 형태의 처짐 곡선을 나타냅니다.

2) 모멘트-곡률 관계 (Moment-Curvature Relationship)

보의 굴곡을 결정하는 중요한 요소는 모멘트와 곡률의 관계입니다.

기본 관계: \( \kappa = \frac{M}{EI} \) 여기서 κ는 곡률, M은 모멘트, E는 탄성계수, I는 관성모멘트입니다.
중요성: 이 관계는 구조물의 설계 및 분석에서 중요하며, 구조물의 안전성과 사용성을 평가하는 데 사용됩니다.

3) 예제 문제

예제 문제 1:
- 문제: 길이 6m의 단순지지 보에 중앙에 15kN의 하중이 작용할 때, 중앙에서의 모멘트-곡률 관계를 구하시오. 탄성계수 E=200GPa, 관성모멘트 I=600×10^-6m⁴
- 풀이:

\( \text{중앙에서의 모멘트} = \frac{FL}{4} = \frac{15 \times 10^3 \times 6}{4} \)

\( \kappa = \frac{M}{EI} = \frac{\frac{15 \times 10^3 \times 6}{4}}{200 \times 10^9 \times 600 \times 10^{-6}} \)

이 수식은 중앙에서의 곡률을 나타냅니다.

예제 문제 2:
- 문제: 길이 10m의 양 끝이 고정된 보에 단위 길이당 5kN/m의 균일 분포하중이 작용할 때, 중앙에서의 모멘트-곡률 관계를 구하시오. 탄성계수 E=210GPa, 관성모멘트 I=500×10^-6m⁴
- 풀이:

\( \text{중앙에서의 모멘트} = \frac{wl^2}{8} = \frac{5 \times 10^3 \times 10^2}{8} \)

\( \kappa = \frac{M}{EI} = \frac{\frac{5 \times 10^3 \times 10^2}{8}}{210 \times 10^9 \times 500 \times 10^{-6}} \)

이 수식은 중앙에서의 곡률을 나타냅니다.

4. 영향선 이론과 그 응용

1) 영향선 이론 (Influence Line Theory)

영향선 이론은 구조 공학에서 보와 같은 구조물에 작용하는 다양한 하중의 영향을 분석하는 데 사용됩니다. 이 이론은 특히 동적 하중(예: 차량이 다리를 건널 때)이나 변화하는 하중의 영향을 이해하는 데 중요합니다.

영향선의 정의: 영향선은 구조물의 특정 지점에서 단위 하중이 이동할 때 그 지점의 반응(예: 모멘트, 전단력, 처짐 등)을 나타내는 그래프입니다.
사용 목적: 영향선은 구조물의 설계와 안전 분석, 하중 분포의 최적화에 사용됩니다.

2) 영향선의 계산

영향선은 주로 수치적 방법(예: 유한 요소 방법) 또는 그래픽적 방법을 통해 계산됩니다. 기본적인 영향선은 다음 공식에 따라 계산될 수 있습니다:

예시 공식: 보의 특정 지점에서 모멘트에 대한 영향선 \( I_{M}(x) = \frac{{M(x)}{P} \) 여기서 \( I_{M}(x) \)는 x 지점에서의 모멘트 영향선, \( M(x) \)는 x 지점에서의 모멘트, P는 단위 하중입니다.

3) 예제 문제

예제 문제 1:
- 문제: 길이가 10m인 단순지지 보에 대해, 중앙에서의 모멘트에 대한 영향선을 구하시오.
- 풀이: \( I_M(x) = \frac{M(x)}{P} = \frac{1}{P} \left( \frac{Px(10-x)}{10} \right) \text{ for } 0 \leq x \leq 10 \) 이 수식은 보의 중앙에서의 모멘트에 대한 영향선을 나타냅니다.

예제 문제 2:
- 문제: 길이가 8m인 양 끝이 고정된 보에 대해, 한쪽 끝(8m)에서의 전단력에 대한 영향선을 구하시오.
- 풀이: \( I_V(x) = \frac{V(x)}{P} = \frac{1}{P} \left( \frac{P(8-x)}{8} \right) \text{ for } 0 \leq x \leq 8 \) 이 수식은 보의 한쪽 끝에서의 전단력에 대한 영향선을 나타냅니다.

5. 실제 구조물에서의 처짐 문제

1) 처짐의 중요성

실제 구조물에서 처짐은 안전성과 사용성에 직접적인 영향을 미칩니다. 과도한 처짐은 구조적 손상을 유발하고, 사용 중 불편함을 초래할 수 있습니다.

안전 기준: 구조물의 설계는 일반적으로 안전 기준과 사용성 기준에 따라 결정되며, 이는 과도한 처짐을 방지하는 데 중점을 둡니다.
사용성 고려사항: 사용자의 편안함과 구조물의 기능적 측면을 고려하여, 허용되는 처짐 한계를 설정합니다.

2) 실제 구조물의 처짐 계산

실제 구조물에서 처짐을 계산할 때는 보의 길이, 하중의 종류, 재료 특성 등을 고려해야 합니다. 복잡한 구조물의 경우, 고급 계산 방법(예: 유한 요소 방법)이 사용될 수 있습니다.

3) 예제 문제

예제 문제 1:
- 문제: 20m 길이의 단순지지 보에 균일하게 분포된 하중 4kN/m이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하시오. 탄성계수 E=30GPa, 관성모멘트 I=900×10^-6m⁴
- 풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{5wL^4}{384EI} = \frac{5 \times 4 \times 10^3 \times 20^4}{384 \times 30 \times 10^9 \times 900 \times 10^{-6}} \approx 0.056 \, \text{m} \)

예제 문제 2:
- 문제: 길이가 15m이고 한쪽 끝이 고정된 보에 중앙에 10kN의 집중하중이 작용할 때의 최대 처짐을 계산하시오. 탄성계수 E=25GPa, 관성모멘트 I=1200×10^-6m⁴
- 풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{PL^3}{3EI} = \frac{10 \times 10^3 \times 15^3}{3 \times 25 \times 10^9 \times 1200 \times 10^{-6}} \approx 0.113 \, \text{m} \)

6. 연습문제와 풀이

이 섹션에서는 구조 공학에서 흔히 다루는 처짐 및 모멘트 관련 문제를 제공하고, 그에 대한 해답을 제시합니다. 이러한 연습문제는 학생들이 이론을 실제 문제에 적용하는 방법을 이해하는 데 도움이 됩니다.

연습문제 1

문제: 길이가 12m인 단순지지 보에 중앙에 20kN의 집중하중이 작용할 때의 처짐을 계산하시오. 탄성계수 E=50GPa, 관성모멘트 I=1000×10^-6m⁴
풀이: \( \delta_{\text{max}} = \frac{FL^3}{48EI} = \frac{20 \times 10^3 \times 12^3}{48 \times 50 \times 10^9 \times 1000 \times 10^{-6}} = 0.0576 \, \text{m} = 57.6 \, \text{mm} \)

연습문제 2

문제: 길이가 10m이고 양 끝이 고정된 보에 단위 길이당 3kN/m의 균일 분포하중이 작용할 때, 중앙에서의 모멘트를 계산하시오. 탄성계수 E=200GPa, 관성모멘트 I=500×10^-6m⁴
풀이: \( \text{중앙에서의 모멘트} = \frac{wl^2}{8} = \frac{3 \times 10^3 \times 10^2}{8} = 37.5 \, \text{kNm} \)

다른 기계 가공법 링크

고체역학 (1) – 응력과 변형률

고체역학 (2) – 인장, 압축, 전단 및 Sin 정리(1)

고체역학 (3) – 인장, 압축, 전단 및 Sin 정리(2)