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▶ 유체역학을 다루는 포스팅
5. 연속 방정식 (Continuity Equation)
5.1) 정의 및 원리
연속 방정식은 유체의 질량 보존을 나타내는 방정식으로, 유체의 어느 지점에서든 시간에 따라 유입되는 유체의 양과 유출되는 유체의 양이 같아야 한다는 원리에 기반합니다.
5.1.1) 질량 보존의 법칙
- 공식: \( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \)
5.1.2) 3차원 정상유 비압축성 연속방정식
- 공식: \( \nabla \cdot \vec{v} = 0 \)
5.2) 예제 문제 및 풀이
예제 1
문제: 직경이 각각 10cm와 5cm인 두 개의 관이 연결되어 있고, 10cm 관에서의 유속이 2m/s일 때, 5cm 관에서의 유속을 계산하시오.
풀이: 비압축성 유체에 대한 연속 방정식에 의해,
\( A_1 v_1 = A_2 v_2 \)
여기서 \( A_{1} = \pi \times (0.1/2)^{2} , A_{2} = \pi \times (0.05/2)^{2} , v_{1} = 2m/s \)
\( v_2 = \frac{A_1}{A_2} \times v_1 = \frac{(0.1/2)^2}{(0.05/2)^2} \times 2 = 8 \, \text{m/s} \)
따라서 5cm 관에서의 유속은 8 m/s입니다.
예제 2
문제: 너비 3m, 깊이 2m인 강에서 물의 체적유량이 12 m3/sm3/s일 때, 평균 유속을 계산하시오.
풀이: 체적유량 Q=A×v. 여기서 면적 A=3×2 m².
\( v = \frac{Q}{A} = \frac{12}{3 \times 2} \)
\( v = 2 \, \text{m/s} \)
따라서 강의 평균 유속은 2 m/s입니다.
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