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3. 강제진동에서의 공명
공명은 강제진동 상황에서 특히 중요한 현상으로, 외부 힘의 주파수가 시스템의 자연 주파수와 일치할 때 발생합니다. 이로 인해 시스템의 응답 진폭이 급격히 증가하여, 경우에 따라서는 시스템의 손상이나 파괴를 초래할 수도 있습니다.
3.1) 공명의 정의와 조건
- 정의: 시스템에 작용하는 주기적 외부 힘의 주파수가 그 시스템의 자연 주파수와 일치할 때, 시스템의 진동 진폭이 극대화되는 현상입니다.
- 조건: 공명은 외부 힘의 주파수 ω가 시스템의 자연 주파수 \( \omega_{n} \)와 일치할 때 발생합니다. 감쇠가 존재하는 경우, 진폭의 최대값은 자연 주파수보다 약간 낮은 주파수에서 발생합니다.
공명의 영향 및 위험성
공명으로 인해 진동 진폭이 증가하면, 구조적 피로, 소음 증가, 심지어 구조물의 파손과 같은 부정적인 결과를 초래할 수 있습니다. 이러한 이유로, 공학자들은 공명을 피하고 제어하기 위한 설계 전략을 개발해야 합니다.
3.2) 공명 회피 및 제어 방법
공명을 피하거나 제어하기 위한 방법에는 여러 가지가 있습니다:
- 자연 주파수 변경: 구조물이나 시스템의 질량이나 강성을 조정하여 자연 주파수를 변경합니다.
- 감쇠 추가: 적절한 감쇠 기구를 추가하여 진동 에너지를 소산시키고 진폭을 줄입니다.
- 능동 제어: 센서와 액추에이터를 사용하여 외부 힘에 대한 반대 힘을 생성, 진동을 제어합니다.
예제 문제 및 솔루션
예제 1: 공진 주파수에서의 진동 진폭 계산
질량 m=0.5kg, 감쇠 계수 c=0.05Ns/m, 강성 k=200N/m인 시스템이 주파수ω=mk의 외부 힘을 받을 때의 진동 진폭을 계산하세요.
솔루션:
- 자연 주파수 \( \omega_{n} \)을 계산합니다:\( \omega_{n} = \sqrt{ \frac{m}{k} } \)
- 주어진 감쇠 계수와 강성을 사용하여 공진 주파수에서의 진동 진폭을 계산합니다. 진폭 X는 공식 \( X = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m \omega ^{2})^{2} + ( c \omega )^{2}} } \) 를 사용하여 구할 수 있습니다.
- 이를 통해 공명이 시스템에 미치는 영향과 감쇠가 진폭에 어떻게 영향을 미치는지 분석할 수 있습니다.
예제 2: 공명 피하기 위한 질량 변경
같은 시스템에 대해, 주어진 외부 힘의 주파수를 고려할 때 시스템의 질량을 어떻게 변경해야 공명을 피할 수 있는지 계산하세요.
솔루션:
- 외부 힘의 주파수가 주어졌을 때, 공명을 피하기 위한 새로운 자연 주파수를 결정합니다.
- 새로운 자연 주파수에 해당하는 질량을 \( \omega_{n} ‘ = m ‘ k \) 식을 통해 계산하여, 필요한 질량 변경량을 결정합니다.
- 이를 통해 구조물이나 기계 시스템의 설계 시 공명 현상을 피하기 위해 필요한 질량 조정 방법을 이해할 수 있습니다.
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